Matematiikan alaan kuuluva väitöskirja tarkastetaan luonnontieteiden, metsätieteiden ja tekniikan tiedekunnassa Joensuun kampuksella.
Mikä on väitöstutkimuksesi aihe? Miksi aihepiiriä on tärkeää tutkia?
Tässä väitöskirjassa esitetään uusia eksplisiittisiä ratkaisuja puristumattomille Eulerin yhtälöille. Nämä osittaisdifferentiaaliyhtälöt mallintavat viskoosittoman, puristumattoman fluidin liikettä, ja niitä käytetään lukuisissa käytännön sovelluksissa, kuten meteorologian ja valtamerivirtausten tutkimuksessa.
Eulerin yhtälöille on kaksi pääesitystapaa: Eulerin muotoilu, joka antaa fluidin nopeuden kussakin avaruuden pisteessä; ja Lagrangen muotoilu, joka antaa kunkin fluidipartikkelin liikeradan. Tässä väitöstyössä käytetään Lagrangen muotoilua. Viime vuosiin asti tätä muotoilua on käytetty melko harvoin, ja tunnetut eksplisiittiset ratkaisut olivat harvassa ennen tätä väitöstutkimusta. Matemaattisesti Lagrangen muotoilu on kuitenkin yhtä validi kuin Eulerin muotoilu, ja se tarjoaa uuden näkökulman Eulerin yhtälöihin.
Tässä väitöstyössä eksplisiittisiä Lagrangen ratkaisuja tutkitaan sekä kaksi- että kolmeulotteisessa tapauksessa, ja fluidi voi olla joko homogeeninen tai heterogeeninen. Heterogeenisen fluidin tapauksessa sovelletaan yleisesti käytettyä Boussinesq-approksimaatiota, jossa tiheysvaihtelut otetaan huomioon vain painovoiman vaikutuksessa, eli fluidin hitausvaihtelut jätetään huomiotta.
Mitkä ovat väitöstutkimuksesi keskeiset tulokset tai havainnot?
Tässä väitöstyössä käytetty lähestymistapa on etsiä eksplisiittisiä fluidivirtauksia, jotka Lagrangen muodossa voidaan esittää ainoastaan ajasta riippuvan matriisin ja ainoastaan paikkamuuttujista riippuvan vektorin tulona. Kutsumme tällaisia ratkaisuja muuttujanerotusratkaisuiksi. Tällaisia ratkaisuja haluttiin tutkia, koska kaikki aiemmin löydetyt Lagrangen ratkaisut olivat muuttujanerotusmuotoa, mutta ne oli löydetty yleensä harmonisia funktioita ja kompleksianalyysimuotoilua käyttäen.
Tämä tutkimus osoittaa, että kun lähdetään sen sijaan liikkeelle muuttujanerotusoletuksesta, niin ihan reaalifunktioita käyttäen saadaan löydettyä kaikki aiemmin löydetyt ratkaisut ja lisäksi paljon muunlaisiakin ratkaisuja. Kehitämme matemaattisen menetelmän, jolla muuttujanerotusratkaisuja voidaan järjestelmällisesti löytää ja jolla ratkaisujen esitys tehdään mahdollisimman yksinkertaiseksi niiden yleisyyttä rajoittamatta. Näin eksplisiittisiä ratkaisujoukkoja löytyy suuret määrät sekä kaksi- että kolmeulotteisessa tapauksessa homogeenisille ja heterogeenisille fluideille. Tätä ennen lähinnä vain kaksiulotteisessa homogeenisessa tapauksessa tunnettiin muutamia Lagrangen muotoilulla eksplisiittisiä ratkaisuja.
Miten väitöstutkimuksesi tuloksia voidaan hyödyntää käytännössä?
Eksplisiittiset ratkaisut osittaisdifferentiaaliyhtälöille kuten Eulerin yhtälöille ovat aina arvokkaita. Ne ovat helpommin ymmärrettäviä ja käsiteltäviä kuin numeeriset ratkaisut, ja siten ne antavat tietoa ratkaisujen kvalitatiivisesta käyttäytymisestä. Niitä voidaan käyttää myös numeeristen algoritmien toimivuuden testaamisessa siten, että sovelletaan numeerista menetelmää tilanteeseen, joka antaa tunnetun eksplisiittisten ratkaisun. Lisäksi, kun halutaan tutkia hieman yksityiskohtaisempia malleja kuin tavalliset Eulerin yhtälöt, niin perturbaatioteorialla voidaan eksplisiittisten ratkaisujen pohjalta muodostaa hyvin tarkkoja likiarvoisia ratkaisuja tällaisiin muunneltuihin malleihin.
Mitkä ovat väitöstutkimuksesi keskeiset tutkimusmenetelmät ja -aineistot?
Käytännössä tutkimus toteutettiin muotoilemalla matemaattiset ongelmat ja ratkaisten ne kynällä ja paperilla, tai ajoittain myös tietokonetta laskujen apuna käyttäen. Puhtaana matemaattisena tutkimuksena tässä ei ollut tutkimusaineistoja. Tutkimus ei ollut osa laajempaa tutkimusprojektia.
FM Tomi Salevan matematiikan alaan kuuluva väitöskirja Explicit Lagrangian solutions to the Euler equations (Eksplisiittisiä ratkaisuja Eulerin yhtälöihin Lagrangen muotoilulla) tarkastetaan luonnontieteiden, metsätieteiden ja tekniikan tiedekunnassa, Joensuun kampuksella. Vastaväittäjänä toimii professori Bijan Mohammadi, University of Montpellier, Ranska, ja kustoksena professori Jukka Tuomela, Itä-Suomen yliopisto. Tilaisuuden kieli on englanti.
- Väitöstilaisuus
- Väitöskirja (PDF)
