Fysiikan ja matematiikan laitos

Fotoniikassa tutkitaan valoa, sen ominaisuuksia ja valon hyödyntämistä erilaisissa laitteissa niin tietotekniikassa kuin lääketieteessä.

Fotoniikan tutkimus ja koulutus UEFissa on koottu Fotoniikan tutkimuskeskuksen sivustolle.

Samalla sivustolla voit tutustua fotoniikan tutkimusaiheisiin (englanninkielinen sivu).

Kompleksianalyysi eli funktioteoria on matematiikan ala, joka käsittelee analyyttisiä tai meromorfisia funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa tai sen osajoukoissa.

Arvojenjakautumisteoria

Nevanlinnan teoria (tai arvojenjakautumisteoria) käsittelee meromorfisten funktioden kasvua ja arvojen jakautumista. Yksi tämän teorian keskeisistä tuloksista on toinen päälause, joka on syvällinen Picardin lauseen yleistys ja tarkennus. Nevanlinnan teorialle analoginen teorian perusrakenne esiintyy monilla matematiikan aloilla, kuten esimerkiksi p-adisessa funktioteoriassa, minimaalipinnoissa ja jopa Brownin liikettä käsittelevässä teoriassa. Osgoodin ja Vojtan mukaan Nevanlinnan toinen päälause vastaa lukuteorian ABC-konjektuuria, joka puolestaan implikoi Fermat:n suuren lauseen asymptoottisen version. Mielenkiintoinen analogia on myös Halburdin ja Southallin esittelemä ns. Trooppinen Nevanlinnan teoria, joka käsittelee paloittain lineaarisia funktioita määriteltyinä max-plus puolirenkaan yli. Nevanlinnan teorian sovellukset löytyvät pääasiassa toisilta matematiikan osa-alueilta, kuten differentiaali- ja funktionaaliyhtälöiden oskilloinnista, tai matematiikkaa sivuavilta aloilta, kuten matemaattisesta fysiikasta.

Operaattoriteoria ja funktioavaruudet

Operaattoriteorian tutkimus keskittyy konkreettisten operaattoreiden, kuten Bergmanin projektion sekä Toeplitz-, Hilbert-, integraali- ja kompositio-operaattoreiden, tutkimukseen yksikkökiekon funktioavaruuksissa harmonista ja funktionaalianalyysiä hyödyntäen. Funktioavaruuksissa pääpaino on pienissä Bergmanin avaruuksissa, joiden harmonisella analyysillä on samankaltaisuuksia Hardy-avaruuksien harmonisen analyysin kanssa ja on näin ollen standardeihin Bergmanin avaruuksiin verrattuna haastavampaa.

Differentiaaliyhtälöt

Kompleksisten differentiaaliyhtälöiden tutkimus on muodostunut laajan kansainvälisen yhteistyön kohteeksi. Tutkimuksen eräänä lähtökohtana on ollut ratkaisujen kasvuominaisuuksien selvittäminen kompleksitason tapauksessa, josta on edetty tarkastelemaan vastaavia ongelmia yksikkökiekossa. Joensuun tutkimusryhmän eräs vahvuuksista on ollut kompleksisten funktioavaruuksien soveltaminen differentiaaliyhtälöiden teoriaan.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen kasvuominaisuuksien lisäksi tutkitaan myös ratkaisujen oskillaatiota. Esimerkiksi yksikkökiekon tapauksessa oskillaatiota koskeva tutkimustyö yhdistää mielenkiintoisella tavalla meromorfisten funktioiden arvojenjakautumisoppia, funktioavaruuksien teoriaa, univalenttien funktioiden teoriaa, interpolointia ja epäeuklidista geometriaa. Eräs oskillaatiotutkimuksen pääongelmista on selvittää ratkaisufunktioiden nollakohtien geometrinen jakauma.

Muutaman vuoden kestäneen hiljaisemman vaiheen jälkeen kompleksisten differentiaaliyhtälöiden tutkimus tason tapauksessa on lähtenyt uuteen nousuun. Tutkimuksen kohteena ovat nyt mm. erikoisratkaisut kanonisten tulojen ja käyräintegraalien avulla, sekä ratkaisujen oskilloinnin selvittäminen kerroinfunktioiden ollessa eksponenttipolynomeja. Myös tapaukset, joissa kerroinfunktiot ovat erikoisfunktioita, ovat viime aikoina herättäneet kiinnostusta.

Tutkimusryhmän yhteystiedot löydät UEF Connect -asiantuntijahausta Kompleksianalyysi-tutkimusryhmän sivulta.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöitten tutkimus voidaan jakaa kahteen aihepiiriin: ylimääräytyvät tehtävät ja niihin liittyvät numeeriset menetelmät, ja epälineaarinen potentiaaliteoria.

Ylimääräytyviä tehtäviä esiintyy sekä puhtaan että sovelletun matematiikan ongelmissa. Taustateoria, jonka puitteissa ylimääräytyviä tehtäviä voidaan tarkastella, on osittaisdifferentiaaliyhtälöitten muodollinen teoria. Tämän teorian keskeinen käsite on involutiivinen systeemi, ja viime aikoina on havaittu, että tätä voidaan hyödyntää myös osittaisdifferentiaaliyhtälöitten numeerisessa ratkaisussa. Näin saadaan luotettavampia tuloksia kuin perinteisempiä menetelmiä käytettäessä.

Yhteistyökumppanina tässä tutkimuksessa on Bijan Mohammadi (Université de Montpellier).

Näitten algebrallisten ja geometristen ideoitten tuominen differentiaaliyhtälöitten analyysiin on myös johtanut monikappaledynamiikassa esiintyvien rajoitusehtoja sisältävien tehtävien analyysiin. Tätä työtä tehdään yhteistyössä Samuli Piipposen (Tampereen yliopisto) ja Andreas Müllerin (Johannes Kepler Universität Linz) kanssa.

Epälineaarisen potentiaaliteorian tutkimus liittyy epälineaaristen elliptisten yhtälöiden ratkaisujen ja superratkaisujen kvalitatiivisten ominaisuuksien analyysiin. Pääpaino on ratkaisujen ja superratkaisujen säännöllisyystarkasteluilla sekä hienoon topologiaan liittyvällä potentiaaliteorialla varioivan eksponentin avaruuksissa ja metrisissä avaruuksissa. Varioivan eksponentin avaruuksien tutkimus on osa kansallista verkostoa Finnish variable exponent Sobolev space research group, metristen avaruuksien tutkimuksessa yhteistyökumppaneina ovat Anders ja Jana Björn (Linköping University) sekä Tomasz Adamowicz (Instute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warsaw).

Fysiikan ja matematiikan opetuksen ja oppimisen tutkimusryhmän toiminta perustuu Physics Education (PER) ja Mathematics Education tutkimustraditioon. Tutkimus tuottaa täsmällistä tietoa eri tekijöiden vaikutuksista oppimiseen ja toimii perustana kehitettäessä uudenlaisia ratkaisuja matemaattisten aineiden opettajankoulutuksen ja kouluopetuksen tarpeisiin.

Tutkimuksen opettajankoulutusta koskevista teemoista keskeisimpiä ovat matematiikan ja fysiikan opettajantieto ja sen kehittyminen sekä matematiikkaorientaatiot. Matematiikan sisältöjen merkitystä insinöörikoulutuksessa tutkitaan yhteistyössä Karelia ammattikorkeakoulun kanssa. Valtakunnallisen LUMA-Suomi kehittämisohjelman hankkeissa kehittämistutkimusta tehdään teknologiakasvatuksen integroimiseksi fysiikan ja kemian sisältöihin ja sukupuolen mukaisen eriytymisen vaikutusten vähentämiseksi luonnontieteiden ja teknologia-alojen koulutus- ja työurien valinnoissa.   

Tutkimukseen tai jatko-opintomahdollisuuksiin liittyvissä asioissa ota yhteyttä: Mervi Asikainen, yliopistonlehtori

LUMA-toiminnasta lisätietoja antaa koordinaattori Saana Kinnunen.

Fysiikan, matematiikan ja tekniikan opetuksen tutkimuksen tutkimusryhmän yhteystiedot löydät UEF Connect -asiantuntijahausta tutkimusryhmän sivuilta.